研究矩阵的相似对角化的意义
理论上看,意义是明显的.相似是一种等价关系,对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式,这对理论分析是方便的.相似的矩阵拥有很多相同的性质,比如特征多项式,特征根,行列式……如果只关心这类性质,那么相似的矩阵可以看作没有区别的,这时研究一个一般的可对角化的矩阵,只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了.而对角矩阵是最简单的一类矩阵,研究起来非常方便.这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究.
另外,对角化突出了矩阵的特征值,而过度矩阵T反映了特征向量的信息,对角化过程的直观意义还是很明显的.再结合正交矩阵的概念,可以得到一些不平凡的结论,例如实对称矩阵总可以对角化.
实践中的矩阵对角化作用也很大.别的不说,比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂,n较大时,按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的,计算复杂度呈指数型增长.但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的),写为=T^(-1)PT,P是对角阵.那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的,只要把各特征值^n即可,此时计算A^n的复杂度几乎与n无关.
以上纯属个人见解,仅供LZ参考:)
什么是相似对角化啊
相似对角化是指设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
扩展资料：
精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。
精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。
参考资料来源：百度百科-对角化
参考资料来源：百度百科-精确对角化法
线性代数，请问对角化和相似对角化有什么区别，谢谢
对角化和相似对角化是没有区别的，取对角化矩阵的时候，在满足特征值分别可取与原矩阵阶数相同的特征向量时，该对角矩阵即与原矩阵相似，所以说这两个其实是同一件事的不同说法。
相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，
这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式，一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
扩展资料：
对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵 ，
如果对于 ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ，使 的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵 对角化。
对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。
矩阵相似于对角矩阵的条件
充要条件
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明过程：
（1）必要性。
设有可逆矩阵P，使得
令矩阵P的n个列向量为 ，则有
因而 ，因为P为可逆矩阵，所以 为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值 的特征向量。
（2）充分性。
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为 ，对应的特征值分别为 ，则有 ，
以这些向量为列构造矩阵 ，则P可逆，且 ，其中C如下：
即 。
参考资料：对角化_百度百科
线性代数：什么叫相似对角化和合同对角化？他们之间有什么区别？
B与A相似,就是存在可逆矩阵P使得。对矩阵A的相似对角化，就是B是对角矩阵的情况。类似地，把上面的逆改为转置，B与A合同,就是存在可逆矩阵P使得。对矩阵A的合同对角化，就是B是对角矩阵的情况。合同对角化是二次型化简要求的，相似对角化是矩阵特征值保持不变要求的，所以这些都在二次型种应用了。而且，由于正交矩阵的逆矩阵就是她的转置，所以用正交矩阵相似对角化，和合同对角化完美地统一了。当然正交变换本身的保持长度的性质就决定了他是图形方程转换的最佳选择
什么叫相似对角化？？？、
就是把一个矩阵化为与它相似的对角阵
说白了，就是通过初等行、列变换，把方阵整理成形如：
E(m*m) O(m*p)
O(n*m) O(n*p)
的对角阵。假设原矩阵的秩=m，则E(m*m)是秩=m的单位阵。
