2019-11-02 关于贝祖数的估计与斐波那契数列关系的证明

近期有新闻 15岁女生的项目改进了加拿大数学家R** n教授于2013年在《美国数学月刊》上给出的一个关于贝祖数的粗糙的估计式，这里我们将基于我们自己的方法独立给出其结论的论证方法；

给出定理：

设 为斐波那契数列

设 , 通过欧几里德算法进行N次计算得到方程 的解为

则有

（后文中将称这2个不等式为 待证不等式）

证明：

首先，当n=2时， 有

,

化简为 ：

此时

由于，此时 , 所以 显然成立

所以 满足不等式

显然成立，将第2式代入第1式，得到

利用

得到

所以 也满足不等式

下面证明如果以上2个不等式对 成立，则对 也成立

利用欧几里德算法，设 对于迭代次数为n-1可以列出以下方程：

...

（方程组1）

结合2019-09-24《有理数的连分数表示欧几里德算法的关联》一文，设此时方程

解为 ，则有以下方程：

...

（方程组2）

对于迭代次数为 n，相对于方程 则可以列出以下方程：

...

（方程组3）

以及

...

（方程组4）

由于，我们已经假定对 两个不等式成立，而 完全由 确定，

则意味着对任意 ，把方程组1,2中的t看做变量，由这些t计算出的s,r满足方程：

且满足

根据t的任意性，我们可以令以下等式成立:

...

并保持以上两个不等式仍然成立；

此时，有:

,则

,则

简化为:

此时，要证明待证不等式对N=n也成立 ，也就是要证明:

当

成立时

成立

我们将 的表达式，代入这2个不等式，得到：

(3)和(2)完全等价

上文中所有 都是正数

,利用 (1)(2)，得到

以及

综上，(3),(4)成立 ，则不等式对N=n也成立

所以，对任意n有，

当 时， 方程 可以化为 ,则显然有

利用 可得

利用 可得

这就是我们要证明的结论

上海15岁高一女生，解开世界难题，为什么不想让妈妈知道？

随着教育进步和国家发展，中国越来越多的参与到世界研究和进步的进程中，多年来国家也培养出来一批又一批的优秀青少年人才，他们都努力地奋斗在自己的岗位上，对于科技和研究人们是永远不会止步的，而且越来越多的少年天才被人们发掘。

上海市就有这么一位小姑娘，年仅15岁的她却让世界都为她拍手叫好，还出席了世界最大的科技研讨会，她认真描述成果和理念的时候，没有人敢相信她只是一个高一的学生而已，她就是谈方琳，一个存在于数学界犹如传奇一般的女孩。

刻苦钻研数学，解开世界谜题

谈方琳小学时候在华东师范大学附属小学上学，在上海市延安初级中学念初中时，谈方琳开始对数学产生了极大的兴趣，感觉自己在做数学题时就像别的孩子在玩迷宫游戏和去游乐场玩一样有意思，于是便跟跟随自己的老师做各种各样的数学研究。

每当解开一个很困难的数学题，谈方琳就像获得了巨大成功一样的十分开心。在考高中时梦想可以考入华师大二附中，果然功夫不负有心人，谈方琳顺利进入华师大二附中，但她可不仅仅是简简单单的一位高一新生哦，她做出的成就让全校师生都为她感到骄傲和自豪。

在谈方琳上初三的时候，对于数学的兴趣愈加浓厚，开始研究起课题“波拉契数列与贝祖数的估计”，这一研究竟然真的让谈方琳获得了意想不到的成果，并且凭借此项课题研究在第33届“上海市青少年科技创新比赛”中，一举就获得了一等奖，这在上海市还是第一个由初中生获得此项荣誉的例子，一下子就让当地的教育部门和学校都对这个貌不惊人的小女孩刮目相看。

对于“波拉契数列与贝祖数的估计”这样的专业词汇可能很多人压根都没听过，其实它是由意大利数学家提出的兔子繁殖问题有很大的联系，问题说如果两只兔子可以生育一对兔子，小兔子成长两个月后就可以生新的小兔子，假设说所有的兔子没有生老病死，那么可以有多少兔子？并且从这里延伸出斐波那契数列。

虽然这样子我们看它很好理解，甚至是很简单没有趣味的问题，但实际上它的研究可以和黄金分割率、黄金矩形、植物生长等等涵盖数学、科学、自然学的各类问题产生千丝万缕的联系。

而谈方琳在教授的指导下，成功研究并且第一次建立了斐波拉契数列和贝祖数的联系，破解了这个世界谜题，解决了贝祖数的最佳上界和下界的估计问题，改进了加拿大数学家早在2013年在《美国数学月刊》发表的一个粗糙的估计是，震惊了全世界，不少优秀的科学家都纷纷要去拜访这个小姑娘。

优良家庭教育下培养的孩子可以发挥自己的优势

谈方琳的家庭教育也开始备受关注，大家都想知道父母怎么培养出这么优秀的女儿，据说谈方琳的父母都是教育工作者，但是并没有采取什么特殊的教育方式，更多地支持孩子去做自己喜欢的事，向着自己喜欢的方向发展，父母回忆起有一次谈方琳考试发挥失常，成绩不理想。

因为父母平时都是对她比较严格的，她很害怕受到父母的指责，于是做什么都畏手畏脚的，父母发现了谈方琳的变化，也想到可能是因为学习，所以他们干脆不去关注成绩，反而父母提出要带谈方琳到户外打球，才让一直精神紧张的谈方琳放下心来，尽情地在球场上挥洒汗水，释放压力，结果意外地得到了更好的成果，谈方琳在数学上更是有了前进的动力。

父母的教育对于孩子来说是十分重要的，原生家庭特有的习惯和风气会伴随孩子的一生，现在越来越多的家人不顾及孩子的爱好，强行加入自己的期望，给孩子带来了极大的压力，甚至很多孩子在不堪重负下变成父母的傀儡，这是非常可悲的。

而谈方琳的父母坚定地让孩子朝着自己喜欢的方向发展，现在的孩子都更多地愿意去模仿自己的家长，所以谈方琳的父母教育孩子的就是让孩子低调做人，踏实做事，戒骄戒躁，这种良好的行为习惯和待人处事的教育，更加要求家长要做好孩子的榜样。

央视希望可以进行采访，却被谈方琳婉拒，只一心搞研究

2018年，谈方琳因为各项科学研究成果的成功，便被上海青少年科学社推荐参加了当时首届世界顶尖科学家青年神龙 ，第二年谈方琳受邀出席第二届世界顶尖科学家大会，这都是世界科学家云集的顶尖科学峰会，来的都是世界闻名的大科学家，但是谈方琳丝毫不胆怯，还很认真地和科学家们探讨科学问题，得到了很多启发。

央视记者在参加完科学家大会后找到谈方琳，希望可以进行一场专访，但是却被谈方琳婉言拒绝了，可想而知能得到央视的曝光就会获得更大的名气，但是谈方琳却说：“刚才拍的都不要让我妈妈看到，不然妈妈又该批评了，不想让我现在出名，所以对这次会议也不想让我参加。”

这让央视的主持人都觉得很佩服，虽然他们很想和这个15岁的小姑娘有一次专访的机会，但是他们还是选择尊重谈方琳的意见，不再加以劝说，能得到如此大的荣誉但是还能保持低调，可以说是家庭教育非常好的孩子才可以做到，谈方琳表示她并不想成名，只是想一心一意做研究，发现更有趣的数学知识，不得不让人很欣赏这一个15岁小姑娘的魄力。

学海无涯，永无止境，谈方琳对于数学的热爱和坚持，是很值得现代青年人学习的精神，勇于去追求自己的梦想，在自己喜欢的领域里大展拳脚，更深层地去发现知识的奥秘。

也希望一代代杰出的科学家可以不改初心的坚持做研究，不为名利动摇，不被利益蒙蔽双眼，我们都坚信谈方琳会在数学这条道路上越走越远，她的人生还很长，希望她可以发现更多人们未解的世界谜题，和世界上所有的科学家一起造福于人类，带人们认识这个奇妙的世界。

贝祖等式的证明,具体的

分类: 教育/科学 科学技术

问题描述:

只要好,追加100分

决不食言

解析:

注意：百度中无法显示数学中的脚标！ a0,a1,...贝祖数是什么，a（n-1）,a（n） 是数列贝祖数是什么，r1.r2,...,r（n-1）,r（n）也是数列。 r（n-1） 即数列的第(n-1)项 别弄错了。 得给百度提提意见了！

贝祖等式贝祖数是什么，依艾蒂·贝祖命名，是线性丢番图方程。

它说明若有整数a、b和其最大公因子d，必存在整数x、y使得：

ax + by = d

x、y称为贝祖数，可用扩展版辗转相除法求得，但结果不是唯一的。

例如12和42的最大公因子是6，便可以写(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。

d其实就是最小可以写成ax + by形式的正整数。

辗转相除法是用来求最大公约数的．我们用代数的形式来表达(实质上，算术形式也是可以完全讲得清楚的)．给出两个正整数a和b，用b除a得商a0，余数r，写成式子

a=a0b+r，0≤r＜b． (1)

这是最基本的式子，辗转相除法的灵魂．如果r等于0，那么b可以除尽a，而a、b的最大公约数就是b．

如果r≠0，再用r除b，得商a1，余数r1，即

b=a1r+r1，0≤r1＜r． (2)

如果r1=0，那么r除尽b，由(1)也除尽a，所以r是a、b的公约数．反之，任何一龀、b的数，由(1)，也除尽r，因此r是a、b的最大公约数．

如果r1≠0，则用r1除r得商a2，余数r2，即

r=a2r1+r2，0≤r2＜r1． (3)

如果r2=0，那么由(2)可知r1是b、r的公约数，由(1)，r1也是a、b的公约数．反之，如果一数除得尽a、b，那末由(1)，它一定也除得尽b、r，由(2)，它一定除得尽r、r1，所以r1是a、b的最大公约数．

如果r2≠0，再用r2除r1，如法进行．由于b＞r＞r1＞r2＞…逐步小下来，而又都是正整数，因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1)．这就是有名的辗转相除法，在外国称为欧几里得算法．这个方法不但给出了求最大公约数的方法，而且帮助我们找出x、y，使

ax+by=d． (4)

在说明一般道理之前，先看下面的例子．

从求42897与18644的最大公约数出发：

42897=2×18644+5609， (i)

18644=3×5609+1817， (ii)

5609=3×1817+158， (iii)

1817=11×158+79， (iv)

158=2×79．

这样求出最大公约数是79．我们现在来寻求x、y，使

42897x+18644y=79．

由(iv)可知 1817-11×158=79．

把(iii)式的158表达式代入此式，得

79=1817-11(5609-3×1817)

=34×1817-11×5609．

再以(ii)式的1817表达式代入，得

79=34×(18644-3×5609)-11×5609

=34×18644-113×5609．

再以(i)式的5609表达式代入，得

79=34×18644-113×(42897-2×18644)

=260×18644-113×42897．

也就是x=-113，y=260．

这虽然是特例，也说明了一般的理论．一般的理论是：把辗转相除法写成为

a=a0b+r，

b=a1r+r1，

r=a2r1+r2，

r1=a3r2+r3，

………

r（n-1）=a（n+1）r（n）+ r（n+1），

r（n）=a（n+2）r（n+1）．

这样得出最大公约数d=r（n+1）．由倒数第二式，r（n+1）可以表为r（n-1）、r（n）的一次式，再倒回一个可以表为r（n-2）、r（n-1）的一次式，…，最后表为a、b的一次式．

即把d放在等式的一边，另一边不断代入上一个等式，最后可找出一组（x、y）值，使 ax+by=d． 成立。

由此，贝式等式得证。

（结合上面的具体例子，自己代入再推导一下，就好理解了）

什么叫贝祖数的估计

贝祖数的估计主要指的是贝祖数的最佳上界、下界的估计。

首先，这里的贝祖数的估计主要指的是最佳上界、下界的估计问题。其次贝祖数也叫做裴蜀定理，是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

定理简介：

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a，b是整数，且gcd(a，b)=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x，y，使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是：a,，b互质的充分必要条件是存在整数x，y使ax+by=1。

谈方琳解决了什么世界性难题

谈方琳解决贝祖数是什么了“斐波拉契数列与贝祖数”这个世界性难题。

谈方琳凭借课题“斐波拉契数列与贝祖数贝祖数是什么的估计”贝祖数是什么，在“第33届上海市青少年科技创新比赛”中，获得了一等奖和主席奖（初中生唯一奖），2019年10月蝉联“最年轻科学家”。

斐波那契数列看似简单、平淡无奇，但它与黄金分割率、黄金矩形等数学知识、植物生长等自然现象有着非常微妙贝祖数是什么的联系，让人不得不惊叹自然贝祖数是什么的神奇造化。